可视化,直观的虚数,BetterExplained指南 - 德国vs意大利比分预测

虚数总是混淆我。就像理解e,大多数解释了两种类别:

这是一个数学抽象,和方程。处理它。
用于先进的物理,相信我们。只是等到大学。

哎呀,鼓励孩子的数学的好办法!今天我们将袭击这一主题与我们最喜欢的工具:

关注人际关系,而不是机械的公式。
看到复数作为升级到我们的数字系统,就像零,小数和底片。
使用视觉图,不仅仅是文本,理解这个想法。

和我们的秘密武器:通过类比学习。我们会通过观察其祖先方法虚数,底片。这是你的指南:

它没有意义,但挂在那里。在年底前我们将追捕我并把它在一个迎头一击,而不是相反。

视频介绍:

真正了解负数

负数并不容易。想象你是一个欧洲的数学家在1700年代。你有3和4,知道你可以写4 - 3 = 1。简单。

但是3 - 4呢?那么,确切地说,这意味着什么?你怎么能把4奶牛从3吗?你怎么不到什么?

底片被认为是荒谬的,这“黑暗的整个学说方程”(弗朗西斯微波激射器,1759)。然而今天,这将是荒谬的底片不合乎逻辑的或有用的。试着问问你的老师是否消极腐败的基础数学。

发生了什么事?我们发明了一种理论有用的属性的数量。底片不我们可以触摸或持有,但他们描述特定关系(如债务)。这是一个有用的小说。

而不是说“我欠你30”和阅读单词,看看我向上或向下,我可以写“-30”,知道这意味着我在洞里。如果我赚的钱,偿还我的债务(-30 + 100 = 70),我很容易可以记录事务。后来我+ 70,这意味着我在清晰。

积极的和消极的信号自动跟踪的方向——你不需要一个句子来描述每个事务的影响。数学变得更简单,更优雅。没关系如果否定“有形”——他们有用的属性,我们使用他们,直到他们成为日常用品。今天你会叫人淫秽的名字如果他们没有否定“得到”。

但是我们不要沾沾自喜的斗争:负数是一个巨大的心理转变。即使欧拉,天才发现e和更多的,我们今天不明白底片。他们被认为是“意义”的结果(后来他弥补了这个风格)。

它证明了我们的心理潜力,今天的孩子们预期了解古代数学家思想,一旦蒙羞。

进入虚数

虚数也有类似的故事。我们可以整天这样解决方程:

$\ displaystyle {x ^ 2 = 9}$

答案是3和3。但假设一些聪明的把小小的,小小的负号:

$\ displaystyle {x ^ 2 = 9}$

哦哦。这个问题让大多数人害怕他们第一次看到它。你想要的数量小于零的平方根?这是荒谬的!(历史上,有真正的问题的答案,但我喜欢想象聪明。)

似乎很疯狂,就像底片,零,非理性(无重复数字)一定是疯了。没有“真正”的意义这个问题,对吗?

错了。所谓的“虚数”一样正常每隔数(或假):他们是一个工具来描述这个世界。在同一个精神假设1。3和0“存在”,我们假设一些数字我存在的地点:

$\ displaystyle {i ^ 2 = 1}$

也就是说,相乘我本身得到1。现在发生了什么?

首先,我们得到一个头痛。但玩”假设我实际上存在“游戏数学更容易也更优雅。新的关系出现,我们可以轻松地描述。

你可能不相信我,就像那些may老数学家不相信1。去动脑子思考新的问题概念难以立即和他们没有意义,甚至对欧拉。但随着底片给我们看,奇怪的概念仍然是有用的。

我不喜欢这个术语“虚数”——它被认为是一种侮辱,诽谤,伤害而设计的我的感情。数量我一样正常的其他数字,但名称“虚构的”我们会使用它。

视觉理解的负面和复数

正如我们上次看到的方程x ^ 2 = 9美元的意思是:

$1 \ \ displaystyle {cdot x ^ 2 = 9}$

或

$1 \ \ displaystyle {cdot \ cdot x = 9}$

当应用变换x,什么两次,把1到9 ?

两个答案是“x = 3”和“x = 3”:也就是说,你可以3“规模”或“3和翻转规模”(翻转或采取相反的一种解释是乘以一个消极的)。

现在让我们考虑x ^ 2 = 1美元,这是真的

$1 \ \ displaystyle {cdot \ cdot x = 1}$

当应用变换x,什么两次,把1变成1 ?人力资源管理。

我们不能乘以一个积极的两倍,因为结果保持积极
我们不能乘以负两次,因为结果将抛回积极第二乘法

但是…旋转!听起来很疯狂,但如果我们想象x是一个旋转90度,然后应用x两次将是一个180度旋转,或翻转从1到1 !

Yowza !如果我们考虑的更多,我们可以在另一个方向(顺时针)旋转两次把1到1。这是“消极”旋转或由我乘法:

如果我们乘我两次,第一次乘法会把1变成我,第二次把我变成1。这是真的两个根1:我和-我。

这是很酷。我们有一些答案,但这意味着什么呢?

我是一个“新虚拟维度”来衡量一个号码吗
我(或-我当旋转)是数字“成为”
乘我是一个90度的旋转逆时针吗
乘以-我顺时针旋转90度吗
两个旋转方向1:它让我们回到“正常”维度的积极的和消极的数字。

数字是二维的。是的,它的弯曲,就像小数或长除法会令人费解的一个古老的罗马。(你的意思是1和2之间有很多吗?)。这是一个奇怪的,思考数学的新方法。

我们问“我们怎么把1到1分两步吗?”,找到了一个答案:旋转90度。这是一个奇怪的,思考数学的新方法。但它是有用的。(顺便说一下,这个几何解释复杂的数字才到达几十年后我被发现)。

同时,记住,逆时针是正的是人类公约——很可能是另一种方式。

发现的模式

让我们深入细节。当用负数(如1),你会得到一个模式:

1,1,1,1,1,1,1,1

自1不会改变大小的一个数字,符号,你来回翻转。对于一些“x”号,你会:

x - x, x - x, x - x…

这个想法是有用的。“x”可以表示数量好或坏头发的一周。假设周交替之间的好的和坏的;这是一个很好的一周;在47周会怎么样?

$\ \ displaystyle {x cdot (1) ^ {47} = x \ cdot 1 = - x}$

所以- x意味着坏头发的一周。注意负数“跟踪标志”:我们可以把美元(1)^{47}$到计算器不用数(“1好,每周2不好…星期3是好的…”)。东西来回翻转可以建模与负数。

好的。如果我们保持乘以我美元吗?

$\ displaystyle{1,我,我^ 2,我^ 3 ^ 4,我^ 5}$

很有趣。让我们减少这一点:

1 = 1美元(没有问题)
我=美元(无能为力)
我^ 2 = 1美元(这是什么我都是关于)
$ ^ 3 =(我)\ cdot \ cdot我= 1 \ cdot = - $(啊,3旋转顺时针逆时针旋转= 1。整洁。)
$ ^ 4 =(我)\ cdot \ cdot(我\ cdot) = 1 \ cdot 1 = 1美元(4旋转带给我们“大圈”)
我^ ^ 5 = 4美元\ cdot i = 1 \ cdot我= $(又来了…)

直观地表示:

我们每4旋转周期。这是有道理的,对吧?任何孩子可以告诉你,4是一样的没有转身。现在而不是专注于虚数(我美元,i ^ 2美元),看看一般的模式:

- X, X, Y - Y、X, Y - X - Y…

像负数建模翻转,虚数可以模拟任何轮换两个维度“X”和“Y”。或任何循环,循环关系——有什么想法?

因为这将是一种罪恶,如果你没有。会有 de Moivre 在以后的文章中更。[编者按:Kalid在电击疗法来治疗他的双关语上瘾。)

理解复数

封面还有一个细节:一个数字可以“真实”和“虚”?

你的赌注。谁说我们必须整个旋转90度吗?如果我们继续1英尺在“真正的”维度和另一个虚构的,它看起来像这样:

我们在一个45度角,在现实和虚构的(1 + i)。就像一个热狗芥末和番茄酱,谁说你需要选择吗?

事实上,我们可以选择任意组合的真实和虚构的数字和一个三角形。角变成了“旋转角”。对数字的复数是花哨的名字与实部和虚部。他们写了一个+ bi,

一个是真正的一部分
b是虚部

不太坏。但是还有最后一个问题:“大”是一个复杂的号码吗?我们不能测量实部或虚部在隔离,因为那样会错过大局。

让我们后退一步。一个负数的大小不在于你可以计算它的距离——这是零。在底片的情况下这是:

$\ displaystyle{{大小}\ - x = \ \文本√6 x {(- x) ^ 2} = | |}$

这是另一种方式找到绝对值。但对于复杂的数字,我们如何衡量两个组件在90度角?

它是一只鸟…飞机…这是毕达哥拉斯!

天啊,他的定理到处都是,即使在数字发明2000年之后。是的,我们正在一个三角形,和斜边的距离是零:

$\ displaystyle{{大小}\ \文本+ bi = \ sqrt {b ^ ^ 2 + 2}}$

整洁。在测量尺寸不一样容易放弃负号,复数有其用途。让我们看一看。

一个真实的例子:旋转

我们不会等到大学物理使用虚数。让我们试试今天出来。有更多关于复杂的乘法,但牢记这一点:

乘以一个复数旋转的角度

让我们看一看。假设我在船上,一个标题3每单位东4个单位。我要改变我的逆时针方向45度。新的标题是什么?

一些能人会说“这是简单的!取正弦,余弦,冗长的官样文章的切线…fluxsom foobar…和…”。裂纹。对不起,我打破你的计算器吗?愿意回答这个问题吗?

让我们尝试一种更简单的方法:我们在一个标题3 + 4的我(无论这个角;我们不关心),并且想要旋转45度。45度是1 + i(完美的对角线),所以我们可以乘以数量!

想法是这样的:

原始标题:3单位东部,北= 3 + 4我4单位
逆时针旋转45度=乘以1 + i。(这是为什么乘法,不是加法,执行旋转。)

如果我们乘在一起:

$\{对齐}开始(3 + 4)\ cdot (1 + i) & = 3 + 3 + 4 + 4我^ 2 \ \ & = 3 + 7我\水平间距{8毫米}+ 4(1)\ \ & = 1 + 7我\{对齐}$

所以我们的新取向是1单位(1)东部西部,北部和7台,你可以画出来。

但yowza !我们发现在10秒,没有动人的正弦或余弦。没有向量、矩阵或跟踪我们象限。这只是算术与代数的交叉相乘。虚数中烤的旋转规则:它只是工作。

更好的是,结果是有用的。我们有一个标题(7)而不是一个角度(每股(7/-1)= 98.13,记住我们在象限2)。如何,确切地说,你打算画和后角吗?与周围的量角器你保持?

不,你想把它转换成余弦和正弦(-。14美分),它们之间找到一个合理的比例(约1 - 7),并勾勒出三角形。复数打败你,立刻,准确,没有一个计算器。

如果你像我一样,你会发现这个使用令人兴奋的。如果你不,我怕数学不炫耀你的喇叭。对不起。

三角学是伟大的,但复数可以使丑计算简单(如计算cos (a + b))。这只是一个预览;以后的文章将给你完整的一餐。

旁白:有些人认为“嗨,这不是有用北/东标题,而不是遵循度角!”

真的吗?好吧,看看你的右手。的角度从底部你的小指的食指?祝你好运自己计算出来。

与一个标题,你至少能说“哦,这是英寸X和Y英寸”和轴承有共事的机会。

复数不

这是一个旋风之旅我的基本见解。看一看第一个图,现在应该是有意义的。

还有更多这些美丽的,滑稽的数字,但我的大脑是累了。我的目标很简单:

说服你,复数被认为是“疯了”,但可能是有用的(就像负数)
说明复数可以简化某些问题,如旋转

如果我对这个话题似乎气冲冲的,是有原因的。虚数一只蜜蜂在我的帽子了年——缺乏直观的见解令我很沮丧。

现在我终于有见解,我分享。但它使我你读这个博客的狂热的疯子,和不在一个教室。我们窒息的问题和“通过”——因为我们不搜索和分享清洁、直观的见解。天哪。

但比诅咒黑暗,不如点燃一只蜡烛:这是我的想法,你会发光焦点之一。思考我们“发现”主题像数字让我们在罗马数字。

有更复杂的数字:查看复杂的算法细节。快乐数学。

后记:但是他们仍然奇怪!

我知道,我也是。他们还奇怪我试着把自己心里的第一个发现零。

零是一个奇怪的想法,有“东西”代表“无”,它躲避罗马人。复数是相似的——这是一种新的思维方式。但零和复数使数学变得更简单。如果我们不奇怪,采用新的数字系统,我们还指望我们的手指。

我重复这个类比,因为它很容易开始认为复数不“正常”。让我们保持我们的思想开放:在未来他们会笑,复数曾经不信任,甚至直到2000年。

卡尔·高斯,著名的数学家,写了:

“想人+ 1,1,√1不是,消极,imaginare(奥得河雀鳝ummogliche) Einheit, sondern大约流转,逆,laterale Einheit gennant,所以想冯静脉solchen Dunklelheit kaum死亡叙述盛能帮。”

“如果+ 1,1,√1没有被积极的,消极的,想象的(甚至不可能)单位,而是直接,逆,横向单位,然后几乎不可能有任何关于这种默默无闻。”

如果你想要更多的细节,请查看维基百科,数学博士讨论或另一个理由为什么存在虚数。

虚数的可视化,直观的指南