e一直困扰着我的——不是字母，而是数学常数。到底是什么意思?
数学书，甚至我的至爱维基百科用晦涩的行话描述:
数学常数e是自然对数的基数。
当你查找自然对数时，你会得到:
自然对数，以前称为双曲对数，是以e为底的对数，e是一个无理数，近似等于2.718281828459。
很好的循环引用。这就像一本用拜占庭来定义迷宫的字典:它是正确的，但没有帮助。像“复杂的”这样的日常词汇有什么问题?
我不是在挑维基百科的茬——很多数学解释都是干巴巴、一本正经地追求严谨。但这并不能帮助初学者掌握一门学科(我们都曾经是初学者)。
没有更多!今天我要分享我的直观,高层关于e是什么以及为什么它很酷的见解。把你那本严谨的数学课本留到下次吧。。下面是一段关于这些见解的简短视频:
e不仅仅是一个数字
将e描述为“一个约为2.71828的常数……”就像在呼唤π“一个无理数，大约等于3.1415……”当然，这是真的，但你完全没有抓住重点。
圆周率是所有圆的周长和直径之比。它是所有圆固有的基本比率，因此影响圆周、面积、体积和圆、球体、圆柱体等的表面积的任何计算。圆周率很重要，它表明所有的圆都是相关的，更不用说由圆衍生出来的三角函数(sin, cos, tan)。
E是所有持续增长过程所共享的基本增长率。E让你取一个简单的增长率(所有的变化都发生在年底)，找到复合、持续增长的影响，即每纳秒(或更快)你只增长一点点。
每当系统呈指数级连续增长时，E就会出现:人口、放射性衰变、利息计算等等。即使是不平稳增长的锯齿状系统，也可以用e来近似。
就像每一个数字都可以被认为是1(基础单位)的缩放版本一样，每一个圆都可以被认为是单位圆(半径1)的缩放版本，每一个增长率都可以被认为是e(单位增长，完美复利)的缩放版本。
所以e不是一个模糊的，看似随机的数字。E表示所有持续增长的系统都是一个共同速率的缩放版本。
理解指数增长
让我们从一个基本的系统开始双打经过一段时间。例如,
- 细菌可以分裂，每24小时“翻一番”
- 我们得到了2倍面条当我们把它们对折时。
- 如果你获得100%的回报，你的钱每年翻一番(幸运!)
看起来是这样的:
一分为二或加倍是一种非常常见的进程。当然，我们可以三倍或四倍，但加倍更方便，所以在这里和我一起坚持。
从数学上讲，如果我们有x次拆分，那么我们得到的东西是开始时的2^x$的一倍。1次分割，我们得到2^1美元，也就是2倍。分4次，我们得到$2^4 = 16$。作为一个通用公式:
换句话说，翻倍就是100%的增长。我们可以这样改写我们的公式:
方程是一样的，但我们把2分成了它真正的样子:原值(1)加上100%。聪明,不是吗?
当然，我们可以用任何数字(50%，25%，200%)替换100%，并得到新增长率的增长公式。所以x期收益的一般公式是:
这只是意味着我们用我们的回报率(1 +回报率)，“x”倍。
更仔细的观察
我们的公式假设增长是分步骤进行的。我们的细菌在等待，等待，然后繁荣，他们会在最后一分钟翻倍。我们的利息收入奇迹般地出现在1年的标记上。根据上面的公式，增长被打断，瞬间发生。绿点突然出现。
世界并不总是这样。如果我们放大，我们会看到我们的细菌朋友随着时间的推移而分裂:
Mr. Green不是突然出现的:他慢慢地从Mr. Blue中成长出来。1个单位时间后(在我们的例子中是24小时)，格林先生就完整了。然后他就变成了一个成熟的蓝色细胞，可以自己创造新的绿色细胞。
这些信息会改变我们的等式吗?
不。在细菌的例子中，形成一半的绿色细胞仍然不能做任何事情，直到它们完全长大并与蓝色父母分离。这个等式仍然成立。
钱能改变一切
但钱就不一样了。只要我们赚到一分钱的利息，那一分钱就可以开始自己赚小便士了。我们不需要等到赚到整整一美元的利息——新钱不需要到期。
基于我们的老公式，利率增长是这样的:
但是，这也不完全正确:所有的利息都出现在最后一天。让我们放大，把这一年分成两个部分。我们每年获得100%的利息，或每6个月获得50%的利息。所以，我们前6个月赚50美分，下半年再赚50美分:
但这仍然不是正确的!当然，我们最初的美元(蓝先生)一年赚一美元。但6个月后，我们有了一枚50美分的硬币，准备走了，却被我们忽略了!这50美分本来可以自己赚钱的:
因为我们的利率是每半年50%，那50美分就能赚25美分(50%乘以50美分)。在1年结束时，我们会
- 我们原来的美元(蓝先生)
- 蓝先生赚的钱(格林先生)
- 格林先生赚的25美分(瑞德先生)
总共给了我们2.25美元。我们从最初的1美元中获得了1.25美元，甚至比翻倍还好!
让我们把回归变成一个公式。两个半衰期50%的增长率为:
进入复合增长
是时候更进一步了。与其把增长分成50%增长的两个阶段，不如把它分成33%增长的3个阶段。谁说我们必须等6个月才能开始获得利息?让我们再细数一下。
将我们的3个复合时期的增长图表绘制成一幅有趣的画面:
想象一下，每一种颜色都是把钱向上铲向了其他颜色(它的子颜色)，每个时期有33%的收益:
- 月0:我们从\$1的Mr. Blue开始。
- 月4:蓝先生在自己身上赚了1/3美元，创造了格林先生，只花了33美分。
- 月8:布鲁先生又赚了33美分，把它给了格林先生，使格林先生的利息增加到66美分。格林先生实际上赚了之前价值的33%，创造了11美分(33% * 33美分)。这11美分就变成了Mr. Red。
- 月12:事情变得有点疯狂。蓝先生又赚了33美分，把它铲给了格林先生，使格林先生得到了整整1美元。格林的第8个月价值(66美分)回报率为33%，收益22美分。这22美分被加到瑞德身上，现在他的总收益是33美分。而从11美分开始的红先生，靠自己赚了4美分(33% * .11)，创造了紫先生。
唷!12个月后的最终值是:1 + 1 + .33 + .04，大约2.37。
花点时间去真正理解这种增长到底发生了什么:
- 每一种颜色都可以自己赚取利息，然后把利息传给另一种颜色。新创造出来的货币可以自己赚钱，如此循环往复。
- 我喜欢把原来的量(蓝先生)想成是永远不变的。蓝先生砸钱创造了绿先生，每4个月稳定33个，因为蓝先生不变。在图中，蓝先生用蓝色箭头表示他是如何喂养格林先生的。
- 绿先生只是碰巧创造和喂养了红先生(绿箭头)，但蓝先生并不知道这一点。
- 随着时间的推移，Mr. Green的成长(不断被Mr. Blue喂养)，它对Mr. Red的贡献越来越大。从4月到8月，格林先生给瑞德先生11美分。在8-12个月期间，格林先生给了红先生22美分，因为在第8个月时，格林先生的收益是66美分。如果我们将图表展开，格林先生将给瑞德先生33美分，因为到第12个月时，格林先生的收入已满1美元。
有意义吗?一开始很难——在整理图表的时候，我甚至有点困惑。但要知道，每一美元都会创造出小帮手，小帮手又会创造出小帮手，以此类推。
我们通过在增长方程中使用3个时期得到一个公式:
我们赚了\$1.37，甚至比上次的\$1.25还要好!
我们能得到无限的钱吗?
为什么不选择更短的时间段呢?每个月、每一天、每小时甚至是纳秒呢?我们的回报会暴涨吗?
我们的回报越来越好，但只是在一定程度上。试着在我们神奇的公式中使用不同的n数，看看我们的总回报:
N (1 + 1/ N)^ N ----------------------- 1 2 2 2.25 3 2.37 5 2.488 10 2.5937 100 2.7048 1,000 2.7169 10,000 2.71814 100,000 2.718268 1,000,000 2.7182804…数字变大，在2.718附近收敛。嘿，等一下，这看起来像e!
Yowza。用极客的数学术语来说，e是定义如果我们在越来越小的时间段内持续保持100%的复利回报，就会得到这个增长率:
这个极限似乎是收敛的，在那里是证明这个效果。但如你所见，当我们选择更细的时间段时，总回报率保持在2.718左右。
但这都意味着什么呢?
数字e(2.718…)是最大可能的结果当复利100%增长一段时间。当然，你一开始期望从1增长到2(这是100%的增长，对吧?)但是，每向前迈出一小步，你就会产生一个小红利，这个红利会开始自己增长。当所有这些都说了，做了，你最终会在1个时间段结束时得到e(2.718…)，而不是2。E是最大值，当我们尽可能100%复利时会发生什么。
所以，如果我们从1美元开始，以100%的回报率连续复利，我们得到1e。如果从\$2.00开始，我们得到2e。如果我们从\$11.79开始，我们得到11.79e。
E就像一个速度限制(就像c，光速)，说的是使用一个连续的过程，你可能增长的速度有多快。你可能不会总是达到速度极限，但它是一个参考点:你可以用这个普适常数来写每一个增长率。
(题外话:要小心区分增加从最终结果。1变成e(2.718…)是an增加(增长率)171.8%。E，本身就是最终的结果你观察后所有的成长都被考虑在内(原来+增加))。
不同的兑换率呢?
好问题。如果我们以每年50%的速度增长，而不是100%呢?我们还能用e吗?
让我们来看看。50%的复合增长率是这样的:
人力资源管理。我们在这里能做什么?记住，50%是总回报，n是将增长分成复利的周期数。如果我们选择n=50，我们可以把增长分成50个1%利息的块:
当然，它不是无限的，但它是相当颗粒状的。现在想象一下，我们也把100%的常规利率分成1%的小块:
啊，这里出现了一些东西。在常规情况下，我们有100个累积变化，每个变化1%在50%的情况下，我们有50个每个1%的累积变化。
这两个数字有什么区别?嗯，只是变化数量的一半:
这很有趣。50 / 100 =。5，这就是e的指数。一般来说，这是可行的:如果我们有300%的增长率，我们可以把它分成300个1%的增长块。如果净增长率为$e^3$，这将是正常水平的三倍。
尽管增长看起来像加法(+1%)，但我们需要记住，它实际上是乘法(x 1.01)。这就是为什么我们使用指数(重复乘法)和平方根($e^{1/2}$表示变化次数的“一半”，即乘法次数的一半)。
虽然我们选择了1%，但我们本可以选择任何小单位的增长率(。1%， .0001%，甚至是无限小的数值!)关键是，对于我们选择的任何速率，它都只是e上的一个新指数:
不同的时间呢?
假设我们有300%的增长率2年。我们将一年的增长率($e^3$)乘以自身:
一般来说:
因为指数的魔力，我们可以避免有两个幂，只需要把速率和时间一起乘以一个指数。
大秘密:e合并速率和时间。
这是疯狂的!$e^x$有两层意思:
- X是我们乘以增长率的次数:3年100%的增长率是$e^3$
- X是增长率本身:300%的增长率一年是$e^3$
这种重叠不会让事情变得混乱吗?我们的公式会不会被打破，世界会不会走到尽头?
都算出来了。当我们写$e^x$时，变量$x $是利率和时间的组合。
让我解释一下。在处理连续复合增长时，10年3%的增长和1年30%的增长(之后没有增长)的整体影响是一样的。
- 10年3%的增长意味着30年1%的变化。这些变化发生在10年的时间里，所以你每年以3%的速度持续增长。
- 1个30%的增长周期意味着30个1%的变化，但发生在一年之内。所以你一年增长30%，然后停止。
同样的“30个1%的变化”发生在每一种情况下。速率越快(30%)，达到同样效果所需的时间就越短(1年)。你的增长速度越慢(3%)，你需要增长的时间越长(10年)。
但在这两种情况下，增长都是$e^{。30} = 1.35$最后。我们没有耐心，更喜欢大的、快速的增长，而不是缓慢的、长期的增长，但e表明它们的净效应是一样的。
所以，我们的一般公式变成:
如果我们的回报率是r为t在某个时间段，我们的净复合增长率是$e^{rt}$。顺便说一下，这甚至适用于负收益和分数收益。
例如时间!
例子让一切变得更有趣。一个简单的提示:我们太习惯于像$2^x$和常规的复利这样的公式，以至于很容易混淆(包括我自己)。阅读更多关于简单、复合、持续增长。
这些例子集中在平稳、持续增长，而不是每年出现一次的大幅增长。它们之间有转换的方法，但我们将把它留到另一篇文章中。
例1:生长晶体
假设我有300公斤的魔法水晶。它们之所以神奇，是因为它们会在一天中生长:我观察一个晶体，在24小时的过程中，它会在晶体中脱落掉自身的重量。(小晶体立即开始以同样的速度生长，但我无法跟踪——我在观察原来的晶体脱落了多少)。10天后我还能有多少?
既然晶体立即开始生长，我们想持续增长。我们的费率是每24小时100%，所以10天后我们得到:$300 \cdot e^{1 \cdot 10} = 6.6 \text{百万公斤}美元的我们的魔法宝石。
这可能有点棘手:请注意输入速度和总产出率。“输入”速率是单晶变化的程度:24小时内100%。净输出速率为e (2.718x)，因为小晶体是自己生长的。
在这种情况下，我们有了输入速率(一个晶体生长的速度)，想要复利后的总结果(整个群体因为小晶体生长的速度)。如果我们有了总生长速率，想要一个单晶的生长速率，我们反向工作，使用2022世界杯预选赛 。
例2:最高利率
假设我有120美元在一个5%利息的账户里。我的银行很慷慨，给我尽可能多的复利。10年后我能有多少钱?
我们的利率是5%，而且我们足够幸运能够持续复利。10年后，我们得到120美元\cdot e^{。05 \cdot 10} = 197.85美元。当然，大多数银行都不会好心给你尽可能好的利率。你的实际回报和连续回报之间的差别，就在于他们有多不喜欢你。
例3:放射性衰变
我有10公斤的放射性物质，它似乎在以每年100%的速度持续衰变。3年后我会有多少?
邮政编码?零?没有什么?再想想。
以每年100%的速度持续衰减是我们一开始的轨迹。是的，我们确实从10公斤开始，并期望到年底“全部减掉”，因为我们每年都在以10公斤的速度衰减。
我们坚持了几个月，达到了5公斤。还剩半年?不!现在我们正在以每年5公斤的速度减肥，所以从现在开始我们还有整整一年的时间!
我们再等几个月，就到了2公斤。当然，现在我们正在以每年2公斤的速度衰减，所以我们有整整一年(从这一刻开始)。我们得到1公斤，有一个完整的一年，达到0.5公斤，有一个完整的一年——看到这个模式了吗?
随着时间的推移，我们失去了物质，但我们的衰减速度减慢了。这种不断变化的生长，就是持续生长与衰变的本质。
3年后,我们将有10美元\ cdot e ^ {(1) (3)} = 10 e ^{3} ={公斤}$ .498 \文本。我们用一个负指数来表示衰减——我们想要一个分数($1/e^{rt}$) vs一个增长乘数($e^{rt}$)。[衰减通常以“半衰期”的形式给出——我们将在以后的文章中讨论转换这些速率。]
更多的例子
如果你想要更花哨的例子，试试布莱克-斯科尔斯期权公式(注意e用于值的指数衰减)或者放射性衰变。目标是在公式中看到$e^{rt}$，并理解它为什么在那里:它在建模一种增长或衰减类型。
现在你知道为什么它是“e”，而不是pi或其他一些数字:e提高到“r*t”，你会得到速率r和时间t的增长影响。
还有更多要学的东西
我的目标是:
- 解释为什么很重要:它是一个基本常数，就像π一样，在增长率中显示出来。
- 给出一个直观的解释:E让你看到任何增长率的影响。每一个新的“块”(Mr. Green, Mr. Red等)都有助于增加总增长率。
- 展示一下它是如何使用的:$e^x$可以让你预测任何增长率和时间段的影响。
- 让你渴望更多:在接下来的文章中，我将深入研究e的其他性质。
这篇文章只是一个开始——把所有的东西都塞进一页纸里，你我都会累的。掸掉身上的灰尘，休息一下，了解一下e的邪恶孪生兄弟，the2022世界杯预选赛 。
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