11.1第1部分：确定积分的快捷方式

如果衍生物和积分是对立的，我们可以避开在确定的积分中发现的费力积累过程。

例如，什么是1 + 3 + 5 + 7 + 9？很难直接计算确定的积分，是直接添加项目。（（50个物品呢？500？）

简单的方法是意识到这种数字模式来自一个不断增长的广场。我们知道最后一个更改（+9）发生在\（x = 4 \），所以我们已经建立了5\（\ times \）5正方形。因此，整个序列的总和为25：

整洁的！如果我们有原始图案，我们将有一个快捷方式来测量步骤的大小。

诸如5 + 7 + 9之类的部分序列怎么样？好吧，只需进行总累积并减去我们缺少的零件（在这种情况下，缺少的1 + 3代表缺失2\（\ times \）2平方）。

是的，部分序列的总和为：5\（\ times \）5-2\（\ times \）2 = 25-4 = 21。

我希望策略为您点击：避免通过查找原始模式手动计算确定的积分。

这是FTOC的第一部分。如果我们有步骤模式和原始模式，那么确定积分的快捷方式是：

我凭直觉上读到这一点是“从a到b的所有更改添加与获得a和b之间的差异相同”。正式，您会看到\（f（x）= \ textit {step}（x）\）和\（f（x）= \ textIt {onimant}（x）\），我认为这令人困惑。将步骤标记为步骤，原件将其标记为原始。

为什么这很酷？确定的积分是一个坚韧的机械计算，无限期的积分是一个不错的，干净的公式。只需在终点之间进行区别，即可了解中间发生的事情的网络结果！（这很有意义，对吗？）

11.2第2部分：找到不定的积分

好的。第1部分说，如果我们具有原始功能，我们可以跳过步骤的手动计算。但是我们如何找到原始？

ftoc部分救援！

让我们假装有一些原始功能（当前未知）跟踪累积：

ftoc说衍生物魔术功能将是我们拥有的步骤：

现在我们可以向后工作。如果我们能找到一些随机功能，请采用其导数，请注意，它与我们拥有的步骤匹配，我们可以将该功能用作原始功能！

跳过痛苦的思考过程什么功能可以做出我们的步骤。只需抓住其中的一堆，打破它们，然后看看哪个匹配。这是我们的花瓶类比，还记得吗？FTOC授予我们“官方许可”向后工作。在我的脑海中，我认为“总积累的下一步是我们目前的金额！这就是为什么积累的导数与我们的步骤相匹配。”

从技术上讲，衍生物等于当前步骤的功能称为抗衍生物（一种抗衍生物（一种）\（2 \）是\（2x \）;另一个是\（2x + 10 \））。FTOC告诉我们，任何抗衍生物都将是原始模式（当然+C）。

这很令人惊讶 - 就像说每个人行为像史蒂夫·乔布斯是史蒂夫·乔布斯。但是在微积分中，如果一个函数分成匹配我们拥有的零件的零件，那就是它们的来源。

实际结论是整合和差异化是对立的。有一个步骤吗？集成以获取原件。有原件吗？区分以获取步骤模式。尽可能多地来回跳动。

11.3下一步

ph！这些课程是理论上的，为官方微积分课中的主题奠定了直观的基础。关键见解是：

• 无穷：可以通过一系列无限步骤来查看有限结果。
• 衍生物：我们可以采取有意义的测量，并找到它所指的理想结果。
• 微积分的基本定理：原始功能使我们可以跳过加元的小块。

在即将到来的课程中，我们将仔细研究一些著名的演算规则和应用程序。真正的目标是为我们自己弄清楚如何实现这一目标：

到现在为止，我们已经想到上面的策略是可能的。在最后一章中，您可以自己浏览确切的计算。