14.1权力规则

我们已经算出来了\(\frac{d}{dx}x^2 = 2x \)：

我们可以将变化形象化，忽略人为的角落。现在，想象一下\ (x ^ 3 \)?

过程是类似的。我们可以在每一面粘上一块板来扩大立方体。“消失的水槽”代表着文物，在那里我们的新板块会相互作用。

我不得不不断提醒自己:排水沟不是真的!它们代表着这一步没有发生的增长。在我们生长之后，我们将立方体“融化”到它新的总面积中，然后再次生长。计算排水沟会高估这一步的增长。(现在，如果我们被迫采取整数大小的步骤，那么就需要排水沟了——但如果是可被无限整除的小数，我们可以顺利地改变。)

从图中，我们可以猜到:

这是正确的!但我们必须把结果形象化。像代数这样的抽象可以让我们处理无法可视化的场景，比如10维的形状。几何形状是一个很好的视觉起点，但我们需要超越它们。

我们可以像这样开始用代数分析一个立方体:

呵。项的数量越来越多，越来越快。如果我们想要10次方呢?当然，这里有代数上的捷径，但让我们从整体上考虑这个问题。

我们的数据集\(x^3 = x \cdot x \cdot x \)有3个组成部分:边。叫它们a b c，让它们保持一致。凭直觉，我们知道总变化有来自每一方的贡献:

双方都认为自己促成了什么变化?

• 认为:我的变化(\ (da \))与其他静止的面结合在一起(\(b \cdot c \))\(da \cdot b \cdot c \)
• 我认为我的零钱\ (db \))与其他方面结合得到\(db \cdot a \cdot c \)
• c认为:我的变化(\(直流\))与其他方面结合得到\(dc \cdot a \cdot b \)

每一个变化都是单独发生的，两者之间没有“相声”\ (da \)，\ (db \)而且\(直流\)(这样的相声会导致沟槽，我们想要忽略它)。总变化量为:

我们把它写成\ \ (x)，原来的一面。每条边都是相同的，(\(a = b = c = x \))，变化是一样的(\(da = db = dc = dx \))，因此我们得到:

将其转换为“每dx”率:

整洁!现在，脑残记忆策略是“把指数下拉，再减1”。这不是学习!

认为是这样的:

• \ (x ^ 3 \)有三个相同的透视图。
• 当系统发生变化时，所有3个透视图的贡献是相同的。因此，导数是\(3 \cdot something \)．
• “某物”是指一侧的变化(\ (dx \))乘以剩下的边(\(x \cdot x \)）.改变的一面从\ \ (x)来\ (dx \)指数减1。

我们可以推理出规则!例如，它的导数是什么\ (x ^ 5 \)?

这是5个相同的视角(\(5 \cdot something \)）.每一个视角都是我的改变(\ (dx \))和其他4个人保持不变(\(x \cdot x \cdot x = x^4 \)）.所以综合的角度是\ (5 x ^ 4 \)．

一般权力规则:

现在我们可以记住快捷方式“取下指数然后相减”，就像我们知道在一个数后面加0等于10一样。一旦你知道了捷径是很好的为什么他们的工作!

14.2积分的权力

让我们尝试整合一种力量，反向工程一系列改变到原始模式中。

想象一个建筑工地。第一天，他们点了三个\ \(\倍)1的木板。第二天，他们点了三个\ \(\倍)2木板。三个3\ \(\倍)3木板。三个4\ \(\倍)4木板。他们在建造什么?

我猜是立方体。他们正在建造一个外壳，一层一层，也许还会在排水沟之间涂上灌浆，把它们粘在一起。

同样，如果我们看到一系列的变化，比如\ (3 x ^ 2 \)，我们可以想象这些盘子被组装成一个立方体:

好了，我们用之前的结果逆向计算。但是对于普通的积分呢\ (x ^ 2 \)?想象一下，传入的变更被分成3个部分:

啊!现在我们有3个盘子(每个盘子的大小是原来的1/3)，我们可以对一个更小的立方体积分。想象一下，“进入的材料”被分成3堆来建立边缘:

如果我们有三摞大小的\ (x ^ 2 \)我们可以做一个全尺寸的立方体。否则，我们建一个小立方体，三分之一大。

一般的积分规则是:

经过一些练习，你会自动做除法的。但现在你知道了为什么这是必要的:我们必须把传入的“变化材料”分成几个方面。(建立一个平方?在双方之间分享变化。建立一个多维数据集?由三方分享。构建4d超立方体?我打电话。)

14.3商的规则

我们已经学过逆矩阵的导数(简单除法):

还记得蛋糕的比喻吗?我们削减了现有的部分(\ \(压裂{1}{x} \))\ \ (x)切片，送出一个。

现在，我们怎么求它的导数\ \(压裂{f} {g} \)?系统中的一个部分试图让我们成长，而另一个部分则把我们分开。哪个赢?

抽象来拯救我们。求导数的时候\ (x ^ 3 \)，我们把它想象成\(x^3 = a \cdot b \cdot c \)，这有助于简化交互。而不是一堆x相乘，它只是3个不同的角度来考虑。

类似地，我们可以重写\ \(压裂{f} {g} \)为两个方面:

我们知道\(a = f \)而且\(b = \frac{1}{g} \)．从这个缩小的视图来看，它看起来像一个普通的矩形乘积规则场景:

这是我们的小秘密\ (b \)真的是\ \(压裂{1}{g} \)，这就像一个部门。我们只想从宏观上考虑矩形是如何变化的。

现在,因为\ \ ()只是重命名\ \ (f)我们可以交换一下\(da = df \)．但是我们怎么换出来\ (b \)?嗯,我们有:

啊!这是我们切蛋糕的过程。作为\ (g \)的增长,我们失去了\(db = -\frac{1}{g^2} \dot dg \)从\ (b \)的一面。总的影响是:

这个公式由乘法定则开始，我们代入它们的实值。不妨把\ \ (f)而且\ (g \)回\((a \cdot b)' \)，得到除法法则(又称除法法则):

许多教科书重新安排了这种关系，像这样:

我不喜欢这样，不，夫人，一点也不!这个版本不再像它的祖先乘法法则。

实际上，除法法则是一种用来测试你记忆能力的折磨手段;我很少记得。想的\ \(压裂{f} {g} \)作为\(f \cdot \frac{1}{g} \)然后用乘法定则。

14.4问题

让我们做一些热身来测试我们的技能。你能解决这些坏家伙吗?

(您可以使用Wolfram Alpha检查您的答案，例如d / dx x⌃4)。

再说一次，不要迷失在符号里。认为“我有\ (x ^ 4 \)——当我做出改变时，我将看到什么样的变化模式\ \ (x)更大的?”

好的!那么反过来做积分呢?

问问自己，“什么样的原始模式会在模式中创建步骤\ (2 x ^ 2 \)?”

试错是好的!尝试一个公式，测试它，调整它。就我个人而言，我喜欢把2放在一边只关心积分\ (x ^ 2 \)：

你怎么知道你是对的?求导-你都是古董商!我给你带来了碎片的图案(\ (2 x ^ 2 \))，你需要告诉我它们来自哪个花瓶。一旦你猜对了一个花瓶，在后面的房间里打碎一个复制品，确保你得到\ (2 x ^ 2 \)退出。然后你就会对你的答案充满信心。你的经理会很高兴的!）.

我们已经准备好自己计算圆方程，并重现阿基米德的发现，阿基米德可能是有史以来最伟大的数学家。